| 1 | # Music: Temperaments and Mathematical Theory v1 |
| 2 | |
| 3 | Математическая теория музыки: чистая интонация (just intonation), коммы, темперации (12-EDO, среднетоновая, пифагоров строй), групповая структура интервалов, N-EDO. Мир **arts.music**. |
| 4 | |
| 5 | **world:** `arts.music` |
| 6 | |
| 7 | --- |
| 8 | |
| 9 | ## 1. Чистая интонация и коммы |
| 10 | |
| 11 | - **Чистая интонация (just intonation):** интервалы как отношения целых чисел (2:1 октава, 3:2 квинта, 5:4 большая терция). Тоны из одного натурального звукоряда дают консонанс; проблема — при смене тоники накапливаются коммы, модуляция «ломает» строй. |
| 12 | - **Комма:** малая разница между интервалами, получаемыми разными путями в чистом строе. **Синтоническая комма** — разница между большой терцией 5:4 и двумя большими целыми тонами (9/8)²; **пифагорова комма** — разница между 12 квинтами (3/2)^12 и 7 октавами 2^7; темперирование «уничтожает» комму, отображая несколько чистых интервалов в один темперированный. |
| 13 | |
| 14 | --- |
| 15 | |
| 16 | ## 2. Темперации |
| 17 | |
| 18 | - **Равномерная (12-EDO):** октава = 12 равных полутонов, полутон = 2^(1/12); все квинты одинаковы, все тональности эквивалентны; квинта и терции слегка отклонены от чистых. |
| 19 | - **Среднетоновая (meantone):** квинты слегка сужены, терции чище; ограниченное число тональностей. |
| 20 | - **Пифагоров строй:** цепочка квинт 3:2; терции нечистые. |
| 21 | - **N-EDO (equal division of octave):** октава поделена на n равных шагов; 12-EDO — западная норма; 24-EDO используют для приближения к макаму/микротоновости; другие деления (19, 22, 31, 53) — компромиссы между чистыми интервалами и модуляцией. |
| 22 | |
| 23 | --- |
| 24 | |
| 25 | ## 3. Групповая структура |
| 26 | |
| 27 | - В p-limit just intonation интервалы образуют свободную абелеву группу по умножению (генераторы — простые числа до p). |
| 28 | - **Регулярная темперация** — гомоморфизм из группы целевых (чистых) интервалов в группу темперированных; «темперирование коммы» = факторизация по подгруппе. Ранг темперации — число независимых генераторов (напр. meantone — ранг 2: октава + квинта). |
| 29 | |
| 30 | --- |
| 31 | |
| 32 | ## 4. Операционный слой (правила по сигналу → действие) |
| 33 | |
| 34 | | # | Сигнал | Действие | Граница переноса | |
| 35 | |---|--------|----------|-------------------| |
| 36 | | R8 | Вопрос о строях, чистой интонации, темперации, коммах | Математическая теория: чистые отношения, коммы, 12-EDO vs meantone vs JI; при продвинутом запросе — группа интервалов, регулярная темперация | Строи и темперации | |
| 37 | |
| 38 | --- |
| 39 | |
| 40 | ## 5. Transfer boundary |
| 41 | |
| 42 | - Применимо к **математической теории строёв и темпераций** в объёме данного документа. |
| 43 | - Для западной нотации и гармонии — kb-music-theory-fundamentals-v1.md; для физики/психоакустики — kb-music-acoustics-v1.md; для макама/раги/микротоновости — kb-music-non-western-v1.md. |
| 44 | |
| 45 | |